محاسبه ضریب طول موثر

مفهوم ضریب طول موثر

به فاصله بین دو نقطه‌ ی عطفِ کمانش ستون، تحت بار فشاری طول مؤثر یا L_e  گفته می‌ شود و ضریبی که طول اصلی ستون را به طول مؤثر تبدیل می‌ کند، ضریب طول مؤثر نامیده شده و با نماد K نشان داده می‌ شود. نقطه‌ ی عطف در تعدادی ستون با شریط تکیه‌ گاهی متفاوت در شکل‌ های زیر مشاهده می‌ شوند. ضریب K به عوامل مختلفی نظیر شرایط تکیه‌ گاهیِ ابتدایی و انتهایی، سختی و تیرهای متصل به ستون بستگی دارند.

شکل 1- ضریب طول موثر تعدادی ستون با شرایط تکیه‌گاهی متفاوت

زمانی که سازه تحت ‌فشار قرار گیرد، احتمال وقوع کمانش وجود دارد. کمانش به‌ صورت تغییر شکل جانبی ناگهانی در یک عضو سازه‌ ای تعریف می‌ شود. زمانی که نیروی وارد شده بر سازه مانند یک ستون افزایش می‌ یابد، این نیرو ممکن است به اندازه‌ ای بزرگ باشد که سبب ناپایداری عضو شود، در این حالت به اصطلاح سازه تحت کمانش قرار گرفته ‌است. پس از وقوع کمانش، بارگذاریِ بیشتر سبب تغییر شکل‌ های زیاد و تا حدودی غیر قابل پیش‌ بینی می‌ شود که ممکن است سبب از بین رفتن کامل ظرفیت باربری عضو شود.

این مقدار بار که موجب کمانش و ناپایداری عضو فشاری می‌ گردد، بار بحرانی کمانش نامیده می شود و پس از حل معادلات دیفرانسیل و اعمال شرایط مرزی از رابطه زیر با عنوان رابطه اولر بدست می‌ آید:

با توجه به رابطه فوق، ضریب طول مؤثر و بار بحرانی رابطه‌ ی عکس‌ دارند و در نتیجه هر چه ضریب طول مؤثر بزرگ‌ تر شود، بار بحرانی قابل‌ تحمل ستون کاهش‌ یافته و ستون ضعیف‌ تر می‌ شود. بهترین شرایط حدی برای یک ستون حالتی است که دو انتهای آن گیردار باشد. در چنین حالتی بار بحرانی ستون بیشتر از سایر حالات تکیه‌ گاهی به دست می‌ آید.

ضریب طول مؤثر با شرایط تکیه‌گاهی ایده آل

در تصویر زیر، تعدادی ستون همراه با شرایط مرزی مختلف و ضرایب طول مؤثر آن‌ ها نشان داده‌ شده است. چون شرایط ایجاد گیرداری کامل همواره در عمل امکان‌ پذیر نیست، لذا آیین‌ نامه‌ های طراحی از جمله مبحث دهم مقررات ملی ایران و هم چنین AISC360 بعضاً مقادیر بزرگ‌ تری را برای ضریب طول مؤثر ستون‌ ها پیشنهاد می‌ کنند (که مقادیرِ پیشنهادی جهت طراحی می‌ باشند).

  همان‌ طور که در جدول بالا ملاحظه می‌ شود ضرایب طول مؤثر ارتباط مستقیمی با شرایط تکیه‌ گاهی ابتدایی و انتهایی دارند. بهترین شرایط تکیه‌ گاهی و در نتیجه بیشترین بار بحرانی قابل‌ تحمل برای ستون در حالت دو سر گیردار رخ می‌ دهد. که ضریب طول مؤثر آن 0.5 است که حرکت دورانی و انتقالی ابتدا و انتهای آن مقید است.

ضریب طول مؤثر ستون‌ها در قاب‌های ساختمانی با قید جانبی مقید (مهارشده)

در سازه‌ های واقعی، شرایط تکیه‌ گاهی به‌ ندرت کاملاً گیردار یا مفصلی هست و دو انتهای ستون به‌ واسطه سختی خمشی اعضای متصل به آن‌ ها یعنی تیرها، در مقابل دوران نیمه صلب هستند. مقدار طول مؤثر برای ستون‌ ها، بین L/2  و L می‌ باشد که مقدار دقیق آن از نسبت ستون به مجموع تیرهای متصل به ستون به دست می آید.

قاب مهار شده یا مقید شده در برابر حرکت جانبی جزء قاب‌ های ساختمانی بوده که برای تأمین پایداری جانبی از یک سیستم باربر جانبی مجزا مانند بادبند یا دیوار برشی استفاده می‌ کند. در این قاب برای تامین پایداری جانبی، حضور بادبند یا دیوار برشی الزامی بوده و اتصالات تیر به ستون می‌ تواند مفصلی یا گیردار باشند.

در قسمت قبل مشاهده گردید که مقدار ضریب K در ستون‌ هایی که حرکت جانبی آن‌ ها مقید است بین 0.5 و 1 می‌ باشد. لذا مبحث دهم مقررات ملی ساختمان به‌ طور محافظه‌ کارانه‌ ای توصیه کرده که ضریب طول مؤثر در قاب‌ های مقید برای اعضای فشاری 1 در نظر گرفته شود (با افزایش ضریب طول موثر، بار بحرانی کمانش کاهش می‌ یابد).

اما اگر بخواهیم مقدار دقیقِ ضریب طول مؤثر را در قاب‌ های مهارشده محاسبه نماییم باید مطابق زیر عمل نمود:

در ابتدا برای دو سر ابتدا و انتها باید پارامتر G محاسبه شود.

پس از محاسبه ی G_A و G_B، ضریب K از فرمول زیر محاسبه می‌ شود:

همچنین می توان از فرمول محاسبه ضریب طول موثر (K) که پیشنهاد مبحث دهم مقررات ملی ساختمان در پیوست 1 است استفاده کرد.

استفاده از نمو گراف جهت تعیین ضریب طول مؤثر در قاب مقید شده

جهت محاسبه ضریب طول موثر (K)، علاوه بر فرمول‌ های بالا، می‌ توان از نموگراف هم استفاده نمود. بدین منظور کافیست G_A و G_B به کمک رابطه‌ های فوق محاسبه گردند، سپس با علامت زدن مقدار آنها در نموگراف زیر و متصل نمودن آنها به یکدیگر، ضریب K را بدست آورد. در پایان این مقاله، نحوه‌ ی استفاده از این نموگراف در قالب یک مثال کاربردی توضیح داده خواهد شد.

شکل 3- نمو گراف جهت تعیین طول موثر

ضریب طول مؤثر ستون‌ها در قاب‌های ساختمانی با قید جانبی آزاد (مهارنشده)

منظور از قاب ساختمانی مهار نشده ( با قید آزاد) یا حرکت جانبی آزاد این است که پایداری جانبی از طریق سختی اعضای قاب (تیرها و ستون‌ هایی که با اتصالات صلب به یکدیگر متصل هستند) تأمین می‌ شود و از مهاربند، دیوار برشی و سایر سیستم‌ های باربر جانبی استفاده نشده است. ضریب طول مؤثر پس از تجزیه‌ و تحلیل شرایط مختلف مانند سختی و طول اعضا تعیین می‌ شود و در قاب‌ های مهار نشده هیچ‌ گاه نباید مقدار K کمتر از 1 در نظر گرفته شود(مانند ضریب طول موثر در قاب خمشی).

با استفاده از رابطه زیر به محاسبه ضریب طول مؤثر می پردازیم:

لازم به ذکر است روش محاسبه‌ ی  G_A و G_B مشابه با قاب مقید (مهارشده) می‌ باشد که در بخش قبل معرفی گردید.

استفاده از نمو گراف جهت تعیین ضریب طول مؤثر در قاب با حرکت جانبی آزاد

همانطور که در بخش قبل هم ذکر شد، جهت تعیین K باید مقادیر G_A و G_B را روی محورهای مخصوص به خود علامت زده سپس دو نقطه را با خطی مستقیم به یکدیگر وصل نماییم. تقاطع خط رسم شده با محور K مقدار ضریب طول مؤثر را نشان می‌ دهد.

شکل 4- تعیین طول موثر با استفاده از نمو گراف

مقایسه ضریب طول مؤثر در قاب‌ های ساختمانی

از بین ستون‌ های مقید در برابر حرکت جانبی (مهارشده) ستونی که دوران آزاد دارد و دو سر مفصل است، بیشترین ضریب طول مؤثر را دارد که برابر است با K=1، در نتیجه این ستون کمترین بار بحرانی را خواهد داشت. این بدین معناست که در سایر شرایط تکیه‌ گاهی در قاب‌ های مهار شده، ضریب طول موثر کوچکتر بوده و بار بحرانی بیشتر خواهد بود در نتیجه، ستون‌ ها قوی‌ تر می‌ باشند. لذا برای ستونی که در برابر حرکت جانبی مقید است، محدوده ضریب طول مؤثر ستون بین 0.5 و 1  می‌ باشد.

در بین ستون‌ هایی که حرکت جانبی آن‌ ها آزاد است (مهار نشده)، ستونی که دو انتهای آن در برابر دوران مقید‌ اند (اتصال صلب)، دارای بهترین حالت و کمترین ضریب طول مؤثر و بیشترین بار بحرانی هست. لذا حداقل ضریب طول مؤثر ستون با حرکت جانبی آزاد برابر 1 است.(k≥1)

بنابراین همان‌ طور که ملاحظه می‌ کنید ضریب طول مؤثر در قاب ساختمانی مهار نشده در مقایسه با قاب ساختمانی مهار شده، بزرگتر می‌ باشد، لذا با توجه به این موضوع و توجه به این نکته که مقاومت جانبی قاب‌ های مهارنشده را صرفاً سختی تیر ستون تامین می‌ کند، این نوع قاب هزینه ساخت بالایی دارد.

 ضوابط و نکات محاسبه ضریب طول مؤثر

نکات تکمیلی زیر در محاسبه‌ ضریب طول موثر باید مورد توجه قرار گیرند.

برای قاب مهار شده

• برای تیرهای طره‌ای متصل به عضو فشاری، مقدار EI/L مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و تأثیری در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای نزدیک تیر متصل به عضو فشاری ( انتهای نزدیک تیر به گره مورد بررسی A یا B) مفصلی باشد، EI/L آن تیر مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و نقشی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، آن تیر باید در 1.5 ضرب شود.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری به تکیه‌ گاه با دوران مقید لیکن انتقال جانبی آزاد متصل باشد،EI/L آن تیر باید در ضرب شود.
• مقدار G برای تکیه‌گاه‌ های مفصلی از لحاظ نظری بی‌ نهایت است ولی در عمل به علت گیرداری کمی که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها 10 در نظر گرفته می‌ شود. مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های گیردار از لحاظ نظری صفر است، ولی در عمل به علت شکل‌ پذیری که این‌گونه تکیه‌گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها مساوی 1 در نظر گرفته می‌ شود.

برای قاب مهار نشده

• برای تیرهای طره‌ای متصل به عضو فشاری، مقدارEI/L مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و تأثیریی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای نزدیک تیر متصل به عضو فشاری ( انتهای نزدیک تیر به گره مورد بررسی A یا B) مفصلی باشد، EI/L آن تیر مساوی صفر در نظر گرفته می‌ شود و نقشی در دوران ستون ندارد.
• هرگاه انتهای دور تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، EI/L آن تیر باید در 2/3 ضرب شود.
• هرگاه انتهای دورِ تیر متصل به عضو فشاری مفصلی باشد، EI/L آن تیر باید در 0.5  ضرب شود.
• مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های مفصلی از لحاظ نظری بی‌نهایت است ولی در عمل به علت گیرداری کمی که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها 10 در نظر گرفته می‌ شود. مقدار G برای تکیه‌ گاه‌ های گیردار از لحاظ نظری صفر است، ولی در عمل به علت شکل‌ پذیری که این‌ گونه تکیه‌ گاه‌ ها دارند، مقدار G برای آن‌ ها مساوی 1 در نظر گرفته می‌ شود.

شکل5- انتهای دور و نزدیک ذکر شده در آیین‌ نامه، برای نقطه A

محاسبه طول مؤثر با ذکر 4 مثال

در ادامه، برای درک بهتر مطالب مورد بحث، ضریب طول موثر در تعدادی قاب مهار شده و مهار نشده، در قالب چند مثال ساده، محاسبه خواهد شد.

مثال 1: ضریب طول مؤثر ستون AB را در شکل زیر محاسبه کنید.

برای تعیین ضریب طول موثر ستون با توجه به شکل 6 به صورت زیر عمل خواهیم کرد:

مثال1 ( محاسبه ضریب طول موثر ستون)

ضریب 0.5 به‌ کار رفته در رابطه‌ ی فوق که در سختی یکی از تیرها ضرب شده، بر اساس تبصره‌ ی آیین‌ نامه‌ ای بند پ-1-3 بوده و علت آن، وجود مفصل در انتهای دورِ تیر متصل به گره A می‌ باشد.

   G_B = 1        تکیه گاه گیردار

مثال 2: ضریب طول مؤثر ستون AB در شکل زیر را بیابید. (آزمون محاسبات- سال 1390)

مثال2

در نقطه B در قسمت تیر طره مقدار EI/L را صفر در نظر گرفتیم.

   G_A = 1        تکیه گاه گیردار

مثال 3: در قاب زیر کدام ستون ضریب طول مؤثرش کمتر از یک هست؟

مثال3

برای محاسبه ضریب طول مؤثر، توجه به وجود یا عدم وجود مهار جانبی الزامی است. مهاربند نشان داده‌ شده در شکل فوق، برای ستون‌های 3 و 5 در تراز فوقانی و برای تکیه‌گاه‌های ستون‌های 3، 4 و 1 در تراز تحتانی (قسمت پایین ستون موردنظر در هر طبقه) قید جانبی ایجاد کرده، و در واقع از حرکت جانبی آنها ممانعت می‌نماید. بنابراین در بین پنج ستون موجود، تنها ستون مقید شده در برابر حرکت جانبی ستون 3 بوده و سایر ستون‌ها در برابر حرکت جانبی آزاد می‌باشند. بنابراین ضریب طول مؤثر تمامی ستون‌ها به‌استثناء ستون 3 بزرگ‌تر از یک هست.

 مثال 4: مثال 2 را به روش نموگراف حل کنید.

در این مسئله  G_A و G_B  را مانند مثال 2 محاسبه می کنیم:

در نقطه B در قسمت تیر طره مقدار EI/L را صفر در نظر گرفتیم.

     G_A = 1        تکیه گاه گیردار

سپس نقاط G_A و G_B را روی نمودار تعیین می کنیم:

مثال 4

همانند مثال 2 مقدار ضریب طول مؤثر تقریباً 1.5 بدست آمد.